问题解答

以上是第二章 Problems 1-5 的解答。对于部分问题的额外注记会在后文写出。

Problem 1

对于 (b) 小问，书上给出的 Hint 应该指的是 Stein 傅里叶分析第四章的定理 3.1：

引理：如果 $0 < \alpha < 1$，则函数

$$ f_{\alpha}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} 2^{-n\alpha} e^{i 2^n x} $$

连续但处处不可微。

而 Stein 随后指出上面的结论对 $\alpha = 1$ 也是成立的。

Problem 3

所谓磨光算子是指满足下列要求的函数 $\alpha$：

• $\alpha$ 无穷次连续可微，即 $\alpha \in \mathscr{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$
• $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^n} \alpha \textrm{d}x = 1$
• $\alpha \geq 0$，且对任意 $|x| \geq 1$ 有 $\alpha(x) = 0$

一个常见的例子是

$$ \alpha(x) = \begin{cases} A \cdot \exp \left( \dfrac{1}{|x|^2 - 1} \right), & |x| < 1 \newline 0, & |x| \geq 1 \end{cases} $$

然后我们就可以用卷积给出磨光变换

$$ \begin{align*} J_{\epsilon} : && \mathscr{L}^p_{loc} &\longrightarrow \mathscr{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n) \newline && u &\longmapsto \alpha_{\epsilon} * u \end{align*} $$

我们不加证明地指出磨光变换的一些性质：

• $\left( J_{\epsilon}(u) \right)^{(m)} = \alpha_{\epsilon}^{(m)} * u$
• 如果 $u \in \mathscr{C}(\mathbb{R})$，则 $\left( J_{\epsilon}(u) \right)’ = J_{\epsilon}(u’)$
• 对于开集 $\Omega \in \mathbb{R}^n$ 以及 $u \in \mathscr{L}^p(\Omega)$ 其中 $1 \leq p < \infty$，有
  1. $\| J_{\epsilon}u \|_p \leq \| u \|_p$
  2. $\| J_{\epsilon}u - u \|_p \to 0$ 当 $\epsilon \to 0$
• 对于开集 $\Omega \in \mathbb{R}^n$ 以及 $u \in \mathscr{C}^0(\Omega)$，当 $\epsilon \to 0$ 时函数列 $J_{\epsilon}u$ 内闭一致收敛至 $u$

Problem 5

这个题是 G. Birkhoff 在 1929 年提出的一个定理。原文标题为 Démonstration d’un théorème elémentaire sur les fonctions entiéres，有兴趣的同学可以自行找到原文（法语）阅读。

相较于上面文档中给出的证明，这个链接中还给出了一个相对来说更加简短的证明。