Cauchy 积分公式的逆定理
这本书在 2.4 节介绍了 Cauchy 积分公式。事实上这一结论的逆定理也成立
定理：设 $D$ 为复平面上的圆盘，$f$ 是 $C = \partial D$ 上的连续函数，则函数
$$ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{f(\xi)}{\xi - z} \textrm{d}\xi $$在 $D$ 上全纯。
取定 $z \in D$，我们有
$$ \begin{align*} F(z + h) - F(z) &= \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{f(\xi)}{\xi - (z + h)} \textrm{d}\xi - \int_{C} \frac{f(\xi)}{\xi - z} \textrm{d}\xi \newline &= \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{hf(\xi)}{(\xi - (z + h))(\xi - z)} \textrm{d}\xi \end{align*} $$当 $|h|$ 充分小时，有
$$ \lim_{h \to 0} \frac{F(z + h) - F(z)}{h} = \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{f(\xi)}{(\xi - z)^2} \textrm{d}\xi $$显然 $\dfrac{f(\xi)}{(\xi - z)^2}$ 连续，进而可积，由此 $F’(z)$ 存在。
值得一提的是，由定理得到的 $F$ 在 $C$ 附近并不一定收敛到 $f$。与之相关的讨论可以参考 A converse to Cauchy’s integral formula。
需要注意的是，上面的命题中曲线 $C$ 是选定的，即与 $z$ 无关。如果曲线的选取与 $z$ 有关的话这个命题不一定成立。
命题：若开集 $\Omega$ 上的函数满足：对任意 $z \in U$ 及以 $z$ 为圆心的圆圈 $C(z, r) \subset \Omega$ 有
$$ f(z) = \int_{C(z, r)} \frac{f(\xi)}{\xi - z} \textrm{d}\xi $$则 $f$ 不一定在 $\Omega$ 上全纯。
事实上，任意调和函数均满足上述条件（参考 3.7 节推论 7.3），但调和函数不必全纯。
全纯函数零点的孤立性
这本书在 2.4 节最后简要介绍了解析延拓及其唯一性，以及与之相关的一个性质是零点的孤立性。
实际上，利用零点的孤立性已经可以给出后面第三章极大模原理的证明。
定理（极大模原理）：若 $\Omega$ 为 $\mathbb{C}$ 中的连通开集，$f$ 在 $\Omega$ 上全纯。若存在 $z_0 \in \Omega$ 使得 $|f|$ 在 $z_0$ 取到局部极大值，则 $f$ 在 $\Omega$ 上取常值。
若 $f$ 非常值，则 $f - f(z_0)$ 在 $\Omega$ 上不恒为 $0$，进而存在非零复数 $\alpha$ 使得在 $z_0$ 附近有
$$ f(z) = f(z_0) + \alpha (z - z_0)^k + O(|z - z_0|^{k+1}) $$其中 $k$ 为 $z_0$ 作为函数 $f - f(z_0)$ 零点的阶。
若 $f(z_0) = 0$，则由 $z_0$ 是孤立零点可知在 $z_0$ 附近有 $f(z) \neq 0$，即
$$ |f(z)| > |f(z_0)| = 0, \qquad \forall z \neq z_0 $$若 $f(z_0) \neq 0$，可以取复数 $\beta$ 使得 $\beta^k = \alpha^{-1}f(z_0)$，对足够小的 $t \in \mathbb{R}$ 有
$$ f(z_0 + t\beta) = f(z_0) \left( 1 + t^k + O(t^k) \right) $$易知 $|f(z_0)|$ 不可能为 $|f|$ 的极大值。
由积分构造全纯函数
这本书在 2.5.3 节证明了用积分构造全纯函数的可行性，即定理 5.4。实际上这个定理条件中对 $F$ 的连续性的要求可以进一步弱化
定理：设 $X$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的可测子集，$\Omega$ 为 $\mathbb{C}$ 中开集，函数 $F : \Omega \times X \to \mathbb{C}$ 满足
- 对于任意 $t_0 \in X$，$F(z, t_0)$ 作为 $z$ 的函数在 $\Omega$ 上全纯；
- 对于任意 $z_0 \in \Omega$，$F(z_0, t)$ 作为 $t$ 的函数是可测的，并且存在 $r_0 > 0$ 以及 $g_0 \in \mathscr{L}^1(X)$ 使得在 $D(z_0, r_0) \times X$ 上有 $|F(z, t)| \leq g_0(t)$，
则函数 $f(z) = \displaystyle\int_{X} F(z, t) \textrm{d}t$ 在 $\Omega$ 上全纯。
固定 $z_0 \in \Omega$，我们尝试证明 $f$ 在 $D(z_0, r_0)$（这里 $r_0$ 由定理条件 2 给出）上全纯。
由条件 1 可知对于 $D(z_0, r)$ 中的点 $z$ 有
$$ f(z) = \int_{X} F(z, t) \textrm{d}t = \frac{1}{2\pi i} \int_{X} \int_{C(z_0, r_0)} \frac{F(\xi, t)}{\xi - z} \textrm{d}\xi \textrm{d}t $$注意到条件 2 中提供了一个控制函数 $g_0$，故在 $C(z_0, r_0) \times X$ 上有
$$ \left| \frac{F(\xi, t)}{\xi - z} \right| \leq \frac{g_0(t)}{|(\xi - z_0) + (z_0 - z)|} \leq \frac{g_0(t)}{r_0 - |z_0 - z|} $$注意到上式右端分母为常数，故其在 $C(z_0, r_0) \times X$ 上可积，于是可以利用 Fubini 定理对积分换序，即
$$ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C(z_0, r_0)} \frac{1}{\xi - z} \int_{X} F(\xi, t) \textrm{d}t \textrm{d}\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{C(z_0, r_0)} \frac{f(\xi)}{\xi - z} \textrm{d}\xi $$进而由 Cauchy 积分公式的逆命题可知 $f$ 在 $D(z_0, r_0)$ 上全纯。
更进一步地，还可以得到
$$ f^{(k)}(z) = \int_{X} \left( \frac{\partial}{\partial z} \right)^k F(z, t) \textrm{d}t $$证明从略。
全纯函数与调和函数
引理：任一实调和函数 $u(x, y)$ 在局部上为一个全纯函数 $f(x + iy)$ 的实部。
记 $ g(z) = \partial_x u - i \cdot \partial_y u = 2 \partial_z u $，容易验证 $g$ 满足 Cauchy-Riemann 方程，因此全纯，进而在 $z_0$ 附近有原函数 $f$。
不难验证上面构造的 $f$ 的实部与 $u$ 相差一个实数。
由此可知，和全纯函数一样，调和函数在区域边界的取值也可以决定其在区域内的取值。
补充题
例 1
$$ |f(z) - f(0)| \leq \frac{2M|z|}{R} $$
这个题用 Cauchy 积分公式进行放缩很容易放过，因此考虑极大模原理。
记 $g(z) = \dfrac{f(z) - f(0)}{z}$，由 $f$ 全纯可知 $z = 0$ 是 $g$ 的可去奇点，进而 $g$ 在 $D$ 上全纯。而 $g$ 在圆圈 $\partial D$ 上有上界
$$ |g(z)| = \frac{|f(z) - f(0)|}{R} \leq \frac{|f(z)| + |f(0)|}{R} \leq \frac{2M}{R} $$故由极大模原理可知在圆盘 $D$ 上有
$$ \frac{|f(z) - f(0)|}{|z|} \leq \frac{2M}{R} $$例 2
设函数 $f(t)$ 分段连续且在正实轴上一致有界，则积分
$$ g(z) = \int_{0}^{+\infty} f(t)e^{-zt} \textrm{d}t $$在右半平面 $\{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) > 0 \}$ 上全纯。
直接套用上面的定理即可。
按理说应该也可以用含参变量积分那一套理论来证明，但貌似将积分的收敛性从内闭一致收敛推到收敛比较困难。